数学概念表现出两重性的例子有哪些（基于数学史说明数学的两重性）

小学数学抽象思维的具体例子

1、例如，在认识平行四边形的时候，为了便于抽象概括出其“两组对边相等”“两组对边分别平行”等本质特征，可以提供给学生如下典型图形充分感知、观察比较后，思考这些图形共同之处，然后再抽象概括。

2、这个方法的思维意义就在于，训练学生对数学知识的正确理解、牢固记忆、准确辨识。

3、逻辑抽象思维故事烧水问题 有好事者提出这样一个问题：假如你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧些水应当怎样去做？被提问者答道：在壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。

4、抽象思维感悟： 从故事中不同职业的人对两只羊的描述，我们感受到艺术家对自然美的关注，生物学家对生命的关注，物理学家对运动与静止的关注，而数学家从色彩、性别、状态中抽象出数量关系：1+1=2，这是数学高度抽象性的体现。

5、数学家：1+1=2。有关于抽象思维的举例2 野猪和马一起吃草，野猪时常使坏，不是践踏青草，就是把水搅浑。马十分恼怒，一心想要报复，便去请猎人帮忙。猎人说除非马套上辔头让他骑。

如何理解数学的两重性

从数学真理的发现或发明的无数事实来看，它是通过大量实验、归纳而得以发现，进而通过演绎推理而证明它的可靠性和真实性。

二重极限是任意方向趋近，累次极限可以看成是其中两条趋近路线，即先沿X（Y）趋向Y（X）轴，再沿Y（X）轴趋向于原点。举例说明：f（x，y）=x*sin（1/xy），二重极限存在为0。

有一个甚为特殊的数学性质的两重性，人们必须理解它，接受它，并且把它吸收到自己正在思考的主题中去。这种两重性是数学的本来面目，我不相信无需牺牲事物的实质，就可能简化和单一化对事物的看法。

量化分析：这个观点强调了量化分析在认识世界中的重要性。通过将事物转化为可度量和可比较的数据，我们能够更加客观、准确地分析和理解现象。这有助于我们揭示事物的规律和本质。

在不违背学生可接受性原则的基础上，也可重组教材。就是适当地把教材对比性强的教材安排在一起进行题组教学。

实践应用是提升：学习数学不仅仅是为了掌握算理和算法，更重要的是将其应用到实际生活中。通过实践应用，我们可以更好地理解数学概念和原理，提高自己的问题解决能力。

数学概念有哪些区别于一般概念的特征?给概念下定义时应遵守哪些规则

直觉定义：凭直觉产生的原始概念，这些概念不能用其他概念来解释，原始概念的意义只能借助于其他术语和它们各自的特征给予形象的描述。如几何中的点、直线、平面、集合的元素、对应等。

具体性与抽象性统一。比如“1”具有高度的抽象性，但当我们应用它的时候，总是有所指，可以表示1棵树、1间教室等等。具有较强的系统性同一数学分支的诸多概念可以用公理化方法组织成一个逻辑系统，相互衍生、发展。

数学概念形成的基本规律之一正是如此：数学概念是以应用先前的抽象概念积累起来的经验为基础，通过一系列的抽象与概括过程而产生的。

什么叫有理数?什么叫无理数?

有理数定义 有理数指整数可以看作分母为1的分数。正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。有理数的小数部分是有限或循环小数。不是有理数的实数遂称为无理数。

无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数 整数和分数统称为有理数 包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。

有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。整数也可看做是分母为一的分数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。 简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、√2等。也是开方开不尽的数。

通则为a/b。0也是有理数。有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。无理数：不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。

有理数是整数和分数的统称。无理数是所有不是有理数的实数。（3）范围区别：有理数集是整数集的扩张，在有理数集内，加法、减法、乘法、除法（除数不为零）4种运算均可进行。

波粒两重性?

光的衍射不现象能作为光具有波动性的证据 。《光，不具有干涉现象》， 所以，没有任何证据证明光具有波动性，因此，光不具有波动性，波粒二象性不成立。

波粒二象性（wave-particle duality）指的是所有的粒子或量子不仅可以部分地以粒子的术语来描述，也可以部分地用波的术语来描述。这意味着经典的有关“粒子”与“波”的概念失去了完全描述量子范围内的物理行为的能力。

原子理论-维基百科。但在同一时期，其他人却不能接受这一事实，他们认为这种可分割性肯定有一个限度，我们最终会变成某种不可分割的东西，被称为原子，意思是不可分割的东西。

在人们认识到光具有波动和微粒的二象性之后，为了解释一些经典理论无法解释的现象，法国物理学家德布罗意于1923年提出微观粒子具有波粒二象性的假说。

波粒二象性并不是说物质有时候是波有时候是粒子。从本质上讲，万物都是有粒子组成的，电磁辐射也不例外。但是，电磁辐射（例如可见光）却强烈的表现出波动性。那么这个波动性究竟是怎么来的呢？这个波动性是一种统计规律。

波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。 震动的微粒子 的解说——量子论 波粒 统一 性（邓宇等） 振动中的弦 微粒子的 振动+平动=波动粒子 在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。